ENIČNA ŠTEVILA

Leta 1907 je eden najpomembnejših rekreacijskih matematikov Henry Ernest Dudeney izdal svojo prvo knjigo Canterburyjske uganke (Canterbury Puzzles; aluzija na znano Chaucerjevo knjigo Canterburyjske zgodbe), ki jo je delno tudi sam ilustriral. 47. od 114 matematičnih ugank je povezana tudi s števili iz naslova.

Pravijo, da so se pred mnogo leti v vasi St. Edmondsbury neverjetno namnožile miši. Zato je opat bližnjega samostana pozval ljudi, naj zberejo kolikor mogoče veliko mačk, da bodo zajedavce iztrebile. Ljudje so stopili skupaj in zbrali veliko mačk, in konec leta so našteli natanko 1 111 111 ujetih miši, vsak mačkon pa je ujel enako število miši, in to več, kot je bilo vseh mačkonov skupaj.

Najbrž ste že ugotovili, da gre za števila, ki imajo za vse števke enke in ki nas morda lahko spomnijo na športno napoved, ali pa na sliko redovalnice ne preveč pridnega šolarja, če smo malce hudomušni.

Tako je  in na splošno  (ki ima n enk). Na pogled zelo preprosta in nepomembna števila imajo zelo lepe lastnosti in so tudi uporabna.

Kako bi torej napisali poljubno enično število še drugače? Odgovor je preprost: sešteti moramo n potenc števila 10 z zaporednimi eksponenti od 0 do n – 1.

Toda ta zapis je očitno neroden, zato si pomagamo s trikom. Do števila pridemo tudi tako, da od potence števila 10 odštejemo 1 (tako pridemo do števila iz samih devetic) in potem to število delimo z 9.

ali na splošno  (število ima n enk). Zapis je krajši in lepši od prejšnjega.

Pri vseh posebnih podmnožicah naravnih števil se slej ko prej vprašamo, ali so morda njihovi elementi tudi praštevila. Tako se je zgodilo tudi z eničnimi števili. Zanje so se začeli matematiki zanimati in jih v 19. stoletju raziskovati. Ena njihovih pomembnejših ugotovitev je trditev: če je m dolžina periode obratne vrednosti praštevila p, ki je večje od 5, potem velja, da je enično število deljivo s tem praštevilom p.

Bralci gotovo vedo, da se da vsak ulomek zapisati kot decimalno število s končno mnogo decimalkami, če se da imenovalec dopolniti do potence števila 10 (to so t. i. desetiški ulomki), ali pa je decimalk neskončno mnogo, vendar se periodično ponavljajo (sklop decimalk, ki se ponavlja, se imenuje perioda). Ker gre v našem primeru za obratne vrednosti praštevil, bomo vedno prišli do periodičnih decimalnih števil.

Dokaz trditve je za nas pretežak, zato bomo njeno veljavnost preverili na najpreprostejšem primeru, za praštevilo p = 7. Obratna vrednost števila 7 je ulomek , ki ima periodo dolžine 6, zato mora biti število  deljivo s 7. In tudi je, saj velja .

Preverimo trditev še za naslednje praštevilo. Obratna vrednost naslednjega praštevila, 11, je , iz česar vidimo, da je dvomestno enično število deljivo z 11, kar je očitno.

Za naprej poglejmo spodnjo tabelo prvih 30 eničnih števil, ki so zapisana kot produkt prafaktorjev oz. v »enem kosu«, če so praštevila.

Takoj opazimo, da so z 11 deljiva samo enična števila s sodo mnogo števkami. To je tudi razumljivo, saj poznamo kriterij za deljivost z 11: vsako drugo števko števila n pomnožimo z (–1) in potem vse števke seštejemo. Če je vsota –11, 0 ali 11, je število n deljivo z 11. V našem primeru so vse števke enke, in ker jih je sodo mnogo, je rezultat opisane operacije vedno 0.

Tabela nam ponuja tudi odgovor na vprašanje, ki ga sploh še nismo zastavili, ste si ga pa najbrž kar sami. Koliko je bilo teh pogumnih mačkonov? Število 1 111 111 oz. E₇ je produkt dveh faktorjev, 239 in 4649, zato je bilo mačkonov 239. Kako se je Dudeney domislil te uganke, se ne ve, očitno pa so ga zanimala enična števila, čeprav v tistem času še niso bila tako znana in upoštevana.

V tabeli opazimo le nekaj eničnih števil, ki niso razcepna na manjše faktorje, ker so praštevila. Do sedaj so našli le pet eničnih praštevil: in , obstaja pa domneva, da jih je neskončno mnogo (samo dokazati jo bo še treba). Enična števila in praštevila so posebej pomembna za kriptografijo oz. za šifriranje sporočil. Posebej uporabna so v bančništvu, saj je od zanesljivosti kodnega ključa odvisna varnost naših prihrankov.

S tem pa zanimivosti eničnih števil še ni konec. Zaporedne potence eničnih števil od E₂ do E₉ so števila, ki jih enako beremo od leve proti desni in od desne proti levi ter jim rečemo številski palindromi. Podobno poznamo palindromne stavke, kot npr. Šepam od doma peš ali Edo suče meč usode ali Črv nese lesen vrč.

Do eničnih števil pridemo tudi na druge načine. Poglejmo jih nekaj:

Če vas je tema začela zanimati, lahko nadaljujete zadnji primer z vsoto števila iz šestih dvojk in kvadrata števila iz šestih trojk … Morda bo spet enično število. Lahko pa s pomočjo tabele ugotovite tudi, katera enična števila so deljiva s 111, 1111, 11111 itn.

Avtor: Gregor Pavlič